Hi, Guest!
Home
Login
Search
169 view   

BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

[#1]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa :
Cho $$a,\,\,b$$ là hai số thực. Các mệnh đề $$''a>b'',\,\,''a<b'',\,\,''a\ge b'',\,\,''a\le b''$$ được gọi là những bất đẳng thức.
•Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)
•Với $$A,\,\,B$$ là mệnh đề chứ biến thì $$''A>B''$$ là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức $$A>B$$ (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến $$''A>B''$$ đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức $$A>B$$mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2. Tính chất :
* \[a>b\] và $$b>c\Rightarrow a>c$$
* $$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$$
* $$a>b$$ và $$c>d\Rightarrow a+c>b+d$$
* Nếu $$c>0$$ thì $$a>b\Leftrightarrow ac>bc$$
Nếu $$c<0$$ thì $$a>b\Leftrightarrow ac<bc$$
* $$a>b\ge 0\Rightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}$$
* $$a\ge b\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}$$
*$$a>b\ge 0\Rightarrow {{a}^{n}}>{{b}^{n}}$$
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
* $$-\left| a \right|\le a\le \left| a \right|$$ với mọi số thực \[a\] .
* $$\left| x \right|<a\Leftrightarrow -a<x<a$$ ( Với $$a>0$$)
* $$\left| x \right|>a\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x>a \\
& x<-a \\
\end{align} \right.$$ ( Với $$a>0$$)
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số không âm
Cho \[a\ge 0,\,\,b\ge \text{0}\], ta có $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$ . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $$a=b$$
Hệ quả :
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
b) Đối với ba số không âm
Cho $$a\ge 0,\,\,b\ge 0,\,\,c\ge 0$$, ta có $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$$. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \[a=b=c\]
[#2]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) $$A\ge B$$ ta có thể sử dụng các cách sau:
•Ta đi chứng minh $$A-B\ge 0$$. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích $$A-B$$ thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
•Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1 : Cho hai số thực $$a,b,c$$. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau
a) $$ab\le \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}$$ b) $$ab\le {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}$$
c) \[3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}}\] d) \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\ge 3\left( ab+bc+ca \right)\]
[#3]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

Lời giải
a) Ta có $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{(a-b)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$$. Đẳng thức$$\Leftrightarrow a=b$$.
b) Bất đẳng thức tương đương với $${{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}-ab\ge 0$$
$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 4ab\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$$ (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra$$\Leftrightarrow a=b$$
c) BĐT tương đương \[3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca\]
$$\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$$ (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra$$\Leftrightarrow a=b=c$$
d) BĐT tương đương \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca\ge 3\left( ab+bc+ca \right)\]
$$\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)\ge 0$$ $$\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$$ (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra$$\Leftrightarrow a=b=c$$
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.
[#4]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

Ví dụ 2 : ( Click +/-)
[#5]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

Ví dụ 3 : ( Click +/-)
[#6]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

Ví dụ 4: Cho số thực $$x$$. Chứng minh rằng
a) $${{x}^{4}}+3\ge 4x$$b) $${{x}^{4}}+5>{{x}^{2}}+4x$$ c) $${{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x$$
Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với $${{x}^{4}}-4x+3\ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\ge 0$$
$$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 0$$ (đúng với mọi số thực $$x$$ )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[x=1\].
b) Bất đẳng thức tương đương với $${{x}^{4}}-{{x}^{2}}-4x+5>0$$
$$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}-4x+4>0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0$$
Ta có $${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\ge 0,\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-1=0 \\
x-2=0 \\
\end{matrix} \right.$$ (không xảy ra)
Suy ra $${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0$$ ĐPCM.
c) Bất đẳng thức tương đương với $${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$$
+ Với \[x<1\] : Ta có $${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)$$
Vì \[x<1\] nên $$1-x>0,\,\,1-{{x}^{5}}>0$$ do đó $${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$$.
+ Với \[x\ge 1\] : Ta có $${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1$$
Vì \[x\ge 1\] nên \[{{x}^{3}}-1\ge 0\] do đó $${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$$.
Vậy ta có $${{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x$$.
[#7]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

Ví dụ 5: Cho $$a,b,c$$ là các số thực. Chứng minh rằng
a) \[{{a}^{4}}+{{b}^{4}}-4ab+2\ge 0\]
b) $$2\left( {{a}^{4}}+1 \right)+{{\left( {{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}\ge 2{{\left( ab+1 \right)}^{2}}$$
c) $$3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-ab+4\ge 2\left( a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+b\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)$$
Lời giải
a) BĐT tương đương với \[\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)+\left( 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-4ab+2 \right)\ge 0\]
$$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}+2{{\left( ab-1 \right)}^{2}}\ge 0$$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[a=b=\pm 1\].
b) BĐT tương đương với $$2\left( {{a}^{4}}+1 \right)+\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{2}}+1 \right)-2\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+2ab+1 \right)\ge 0$$
\[\Leftrightarrow \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)+\left( 2{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}} \right)+\left( {{a}^{4}}-4{{a}^{2}}+1 \right)\ge 0\]
$$\Leftrightarrow {{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+2{{(a-b)}^{2}}+{{({{a}^{2}}-1)}^{2}}\ge 0$$(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[a=b=\pm 1\].
c) BĐT tương đương với $$6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-2ab+8-4\left( a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+b\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)\ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ {{a}^{2}}-4a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+4\left( {{b}^{2}}+1 \right) \right]+\left[ {{b}^{2}}-4b\sqrt{{{a}^{2}}+1}+4\left( {{a}^{2}}+1 \right) \right]+\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)\ge 0$$
$$\Leftrightarrow {{\left( a-2\sqrt{{{b}^{2}}+1} \right)}^{2}}+{{\left( b-2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$$(đúng)
Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực \[x,\,\,y\] thỏa mãn $$x\ge y$$. Chứng minh rằng;
a) $$4\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)\ge {{\left( x-y \right)}^{3}}$$
b) $${{x}^{3}}-3x+4\ge {{y}^{3}}-3y$$
Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương $$4\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{3}}\ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left[ 4\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{2}} \right]\ge 0\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left[ 3{{x}^{2}}+3xy+{{y}^{2}} \right]\ge 0$$
$$\Leftrightarrow 3\left( x-y \right)\left[ {{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4} \right]\ge 0$$ (đúng với $$x\ge y$$) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[x=y\].
b) Bất đẳng thức tương đương $${{x}^{3}}-{{y}^{3}}\ge 3x-3y-4$$
Theo câu a) ta có $${{x}^{3}}-{{y}^{3}}\ge \frac{1}{4}{{\left( x-y \right)}^{3}}$$, do đó ta chỉ cần chứng minh
$$\frac{1}{4}{{\left( x-y \right)}^{3}}\ge 3x-3y-4$$ (*), Thật vậy,
BĐT (*) $$\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{3}}-12\left( x-y \right)+16\ge 0$$
$$\Leftrightarrow \left( x-y-2 \right)\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}+2\left( x-y \right)-8 \right]\ge 0$$
$$\Leftrightarrow {{\left( x-y-2 \right)}^{2}}\left( x-y+4 \right)\ge 0$$ (đúng với$$x\ge y$$ )
Đẳng thức xảy không xảy ra.
[#8]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
\[a\in \left[ \alpha ;\beta \right]\Rightarrow \left( a-\alpha \right)\left( a-\beta \right)\le 0\] \[\left( * \right)\]
\[a,b,c\in \left[ \alpha ;\beta \right]\Rightarrow \left( a-\alpha \right)\left( b-\alpha \right)\left( c-\alpha \right)+\left( \beta -a \right)\left( \beta -b \right)\left( \beta -c \right)\ge 0\left( ** \right)\]
Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :
$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca)$$.
Lời giải
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :
$$a+b>c\Rightarrow ac+bc>{{c}^{2}}$$. Tương tự
$$bc+ba>{{b}^{2}};\text{ }ca+cb>{{c}^{2}}$$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm
Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT $$|a-b|<c$$ rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.
Ví dụ 8 : Cho $$a,b,c\in [0;1]$$. Chứng minh : $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$$
Lời giải
Cách 1: Vì $$a,b,c\in [0;1]\Rightarrow (1-{{a}^{2}})(1-{{b}^{2}})(1-{{c}^{2}})\ge 0$$
$$\Leftrightarrow 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$ (*)
Ta có : $${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 0;\text{ }{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}\le {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$$ nên từ (*) ta suy ra
\[{{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a\] đpcm.
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với \[{{\text{a}}^{\text{2}}}\left( 1-b \right)+{{b}^{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le 1\]
Mà \[a,b,c\in \left[ 0;1 \right]\] \[\Rightarrow {{a}^{2}}\le a,{{b}^{2}}\le b,{{c}^{2}}\le c\] do đó
\[{{a}^{2}}\left( 1-b \right)+{{b}^{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\]
Ta chỉ cần chứng minh \[a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1\]
Thật vậy: vì \[a,b,c\in \left[ 0;1 \right]\] nên theo nhận xét \[\left( ** \right)\] ta có
\[abc+\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)\ge 0\]
\[\Leftrightarrow \]\[a+b+c-\left( ab+bc+ca \right)\le 1\]
\[\Leftrightarrow \]\[a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1\]
vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Ví dụ 9 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : \[{{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\]. Chứng minh :
$$2(1+a+b+c+ab+bc+ca)+abc\ge 0$$.
Lời giải
Vì \[{{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]\] nên ta có :
$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge 0$$ (*)
Mặt khác : $$\frac{{{(1+a+b+c)}^{2}}}{2}\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\ge 0$$ (**)
Cộng (*) và (**) ta có đpcm.

Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu \[a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6\] và \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90\] thì \[a+b+c\ge 16\]
Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra \[a<9,b<8,c\le 7\] do đó áp dụng \[\left( * \right)\] ta có
\[\left( a-4 \right)\left( a-9 \right)\le 0,\left( b-5 \right)\left( b-8 \right)\le 0,\left( c-6 \right)\left( c-7 \right)\le 0\] nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được:
\[{{\text{a}}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-13(a+b+c)+118\le 0\]suy ra
\[a+b+c\ge \frac{1}{13}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+118 \right)=16\] vì \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90\]
vậy \[a+b+c\ge 16\] dấu “=” xảy ra khi \[a=4,b=5,c=7\]
Ví dụ 11: Cho ba số $$a,\,\,b,\,\,c$$ thuộc $$\left[ -1;1 \right]$$ và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
$$\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 2$$
Lời giải
Vì ba số $$a,\,\,b,\,\,c$$ thuộc $$\left[ -1;1 \right]$$ nên $$0\le {{a}^{2}},{{b}^{2}},{{c}^{2}}\le 1$$
Suy ra$$(1-{{b}^{2}})(1+{{b}^{2}}-{{a}^{4}})\ge 0$$$$\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}\le 1$$ (*)
Mặt khác $${{a}^{4}}\ge {{a}^{2012}},\,{{b}^{4}}\ge {{b}^{2012}}$$ đúng với mọi $$a,\,\,b$$ thuộc $$\left[ -1;1 \right]$$
Suy ra $${{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}\ge {{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}$$ (**)
Từ (*) và (**) ta có $${{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}\le {{a}^{4}}{{b}^{2}}+1$$ hay $$\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{c}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$$
Tương tự ta có $$\frac{{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{a}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$$ và $$\frac{{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{b}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$$
Cộng vế với ta được $$\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 3$$
Hay $$\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 2$$ ĐPCM.
[#9]
admin admin [Trùm cuối] offline
"></textarea><script>alert('a');</script>

3. Bài tập luyện tập
Bài 4.0. Cho các số thực $$a,\,\,b,\,\,c$$ là số thực. Chứng minh rằng:
a) $$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$b) $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge ab+a+b$$
c) $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3\ge 2(a+b+c)$$d) $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2(ab+bc-ca)$$
Bài 4.1: Cho $$a,b,c,d$$ là số dương.. Chứng minh rằng
a) $$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$$ với $$\frac{a}{b}<1$$. b) $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$$
c) $$1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2$$
d) $$2<\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}<3$$
Bài 4.2: Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) $$(ax+by)(bx+ay)\ge {{(a+b)}^{2}}xy$$ ( với\[a,b>0;\text{ }x,y\in R\]) .
b) $$\frac{c+a}{\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}}\ge \frac{c+b}{\sqrt{{{c}^{2}}+{{b}^{2}}}}$$. với $$a>b>0;\text{ }c>\sqrt{ab}$$.
c) $$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge 4$$ với \[a,b,c>0\] và $$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$$
d) \[a{{(b-c)}^{2}}+b{{(c-a)}^{2}}+c{{(a-b)}^{2}}>{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\text{ }\]với $$a,b,c$$ là ba cạnh của tam giác
Bài 4.3: Cho $$x\ge y\ge z\ge 0$$. Chứng minh rằng:
a) $$x{{y}^{3}}+y{{z}^{3}}+z{{x}^{3}}\ge x{{z}^{3}}+z{{y}^{3}}+y{{x}^{3}}$$
b) $$\frac{{{x}^{2}}y}{z}+\frac{{{y}^{2}}z}{x}+\frac{{{z}^{2}}x}{y}\ge \frac{{{x}^{2}}z}{y}+\frac{{{y}^{2}}x}{z}+\frac{{{z}^{2}}y}{x}$$.
Bài 4.4: Cho bốn số dương $$a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d$$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\le \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$$.
Bài 4.5: Cho \[a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\] và thoả mãn điều kiện \[a+b+c=6\]. Chứng minh rằng \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 14\]

  Total: 9

Cùng Chuyên Mục
Câu hỏi 1 trang 120 SGK Đại số 10 - hay 71
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 4 - Đại số 10 64
Bài 3 trang 57 SGK Đại số 10 - hay 68
Câu hỏi 3 trang 11 SGK Đại số 10 - hay 73
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 3 - Đại số 10 61
Bài 4 trang 24 SGK Đại số 10 - hay 63
Bài 13 trang 51 SGK Đại số 10 - hay 61
Bài 14 trang 25 SGK Đại số 10 - hay 62
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Đề số 3 - Đại số 10 58
Bài 16 trang 26 SGK Đại số 10 - hay 72
Bài Ngẫu Nhiên
Soạn bài Chiếu cầu hiền - Ngắn gọn nhất 64
[Văn Hóa - Tôn Giáo] Lễ Tục Trong Gia Đình Người Việt 68
Phân tích truyện Tấm Cám - hay 79
Phân tích bài ‘Từ ấy’ của nhà thơ Tố Hữu 64
[Truyện Cười - Tiếu Lâm] Chuyện đời trong quán rượu 59
Phân tích nhân vật Huấn Cao trong Chữ người tử tù của Nguyễn Tuân 55
[Trinh Thám - Hình Sự] Trăng Lạnh 96
Qua cuộc đời của hai nhân vật trung tâm Mị và A Phủ, hãy tìm hiểu giá trị hiện thực và giá trị nhân đạo của tác phẩm Vợ chồng A Phủ của nhà văn Tô 45
Bài 1 trang 57 SGK Đại số 10 - hay 71
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 6 - Đại số 10 59
Filter by author
Download Topic

In forum

New at the top
Home | Sitemap | FAQ | RSS
0 / 15

Chia Sẻ Đam Mê